DICIEMBRE

Semana 1 (9 de diciembre al 12 de diciembre)

SERIES DE POTENCIA

 

donde zo debe ser difernete de cero y an(z-zo)^n es el términno general.

PROPIEDADES:

SI entonces:

• Cuando  0<R<1 , entonces:
  y Convergen.

• Cuando  R>1 y Divergen.

 

 SERIES DE TAYLOR

Si una función es analítica en Zo, podemos desarollarlo mediente una serie compleja de Taylor.

• Si Zo es igual a cero, Se conoce como serie de MC LAURIN. 

 

• El desarrollo de la serie de Taylor se realiza mediante la generalización de derivadas sucesivas de la función evaluadas en el punto Zo,  ejemplo: 

 

METODOS CON SERIE DE TAYLOR

Por sustitución: En este proceso se reemplaza una parte de la función por una varible.

 ejemplo:

Por división: Este proceso se realiza cuando la función presenta fraciones.

Por derivación: Este proceso consiste en derivar una función para untilizar dicha derivado debiendo ser esta una serie de Taylor conocida.

 

Por integración: Consiste en llegar a la serie de Taylor mediante la integración de una funcción asociada a la que se deseada, por ejemplo:

 

Semana 2 (16 de diciembre al 19 de diciembre)

 

SERIE DE LAURENT

Esta serie es exclusiva de los complejos.  Si f(z) no es analítica en Zo no admite desarrollo mediante Serie de Taylor, aquí utilizamos la serie de Laurent.

 

an=parte analítica

bn=parte principal 

 

 

PROPIEDADES:

• Si f es analítica en el anillo R1<|Z-Zo|<R2 entonces para Z en este anillo.

.

 Ejemplo:
Halle la serie de Laurent de:

 

 

 

Semana 3 (16 de diciembre al 19 de diciembre)

TEOREMA DEL RESIDUO

• Singularidades:

  Zo es una singularidad de f(z) si: f(z) es analítica en todo el plano complejo menos en Zo.
  
  
  
  •   Tipos de Singularidades. 
   
  1.  SINGULARIDAD AISLADA: Zo es una singularidad aislada de f(z) si existe d>0 /  ||Z-Zo||=d no encierre puntos singulares distintos de Zo.

        2.  POLOS: Zo es un polo de f(z) si se cumple que :

 

 

Ejemplos:

• Puntos de Ramificación   

  
  

• Singularidad Remobible

   

  Ejemplo:

  

• Singularidad Esencial

   

  Ejemplo:

  observamos que no es polo, ni singularidad removible tampoco singularidad esencial, entonces consta de singularidad esencial.

   

  RESIDUOS

  Según la serie de Laurent, una función f(z) no analítica en Zo, se expresa:
   
  Teorema: de residuos
  Si f(z) es una fracción analítica dentro y sobre una curva excepto en un número infinito de puntos singulares Zo1,Zo2,...., pertenecientes al punto interior de dicha curva, entonces:
    
  Ejemplo: 
   

   

   

  Semana 4  y 5 (23 de diciembre al 31 de diciembre)

  Primera prueba del segundo bimestre y Feriado por Navidad y Año Nuevo